martes, 26 de octubre de 2010

Funciones Homográficas

Este tipo de funciones se incluyen dentro de las Funciones potenciales f(x) = xa donde a es un número cualquiera menor que cero, a < 0 .
Veamos que sucede cuando a = -1.
Grafiquemos f(x) = x – 1 podemos expresar esta ecuación de otro modo:
Completemos la tabla y coloquemos los puntos en un eje cartesiano:

x
- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
f
(x)
- 0,20
- 0,25
- 0,33
- 0,50
- 1,00
No existe
1,00
0,25
0,33
0,25
0,20

No se puede dividir ningún número por cero, ya que todo número multiplicado por cero da como resultado únicamente cero. Así que del dominio de este tipo de funciones, hay que sacar los valores de x que hacen que el denominador sea cero.
Dominio: R – {0}
Vimos que no podemos calcular el valor de la función cuando x = 0. Cabe preguntarnos ¿qué sucede con los valores cercanos de cero? Completemos el cuadro poniendo valores cada vez más cercanos a ese número.

x
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,00001
- 0,1
- 0,001
- 0,0001
- 0,00001
f
(x)
10
100
1000
10000
100000
- 10
- 100
- 1000
- 100000
Vemos que a medida que el valor de x es se acerca a cero (se dice: tiende a cero) el resultado crece, tiende a infinito.
El valor que tiende f(x) es el límite. Imagínate una pared a la que puedes acercarte todo lo que quieras, pero no la puedes tocar, esa misma representación es el límite. Cuando x → 0 (x tiende a cero), f(x) → ∞ ( f(x) tiende a infinito) y el infinito es el límite, el valor al que te podes cercar, pero no llegar.
De manera semejante, observamos que podemos acercarnos a cero cuanto queramos pero jamás x va a ser igual que cero, (x = 0). Este valor representa un corte en la función, lo llamamos asíntota. Este corte es paralelo al eje y, así que se lo llama Asíntota Vertical (A. V.)
Asíntota Vertical: {0}
Hagamos otra tabla con valores cada vez más grandes:


x
-1000
-100
-10
-1
No existe
1
10
100
1000
f
(x)
- 0,001
- 0,01
- 0,1
- 1
0
1
0,1
0,01
0,001


¿Qué sucede con la imagen?.
A medida que los valores de x se hacen más grande (tiende a infinito), o se hacen más chicos (tiende a menos infinito), los resultados son cada vez más pequeños. Pero la división de dos números jamás dará como resultado cero. Sobre el eje y hallamos este número que no es imagen de ningún elemento del dominio. Hallamos que este valor es una asíntota paralela al eje x, por lo que la llamamos Asíntota horizontal (A. H.). Asíntota Horizontal: {0}
Para cualquier función homográfica puede representarse como  

Las asíntotas están relacionadas con los límites.
La asíntota vertical está ubicada en el valor de las x cuyo límite tiende a infinito.
Para cualquier valor de a tenemos que:
La asíntota vertical es el valor de a.   A.V. = {a}
La asíntota horizontal es el valor del límite de la función cuando x tiende a infinito.

Para cualquier valor de b tenemos que
La Asíntota horizontal es el valor de b. A. H. ={b}.


Explicacion de HOMOGRAFICAS:


martes, 19 de octubre de 2010

Funcion Modulo

Definición:

 Es una función cuyo dominio y codominio es el conjunto de los números reales. Su fórmula es:

¦: Â ® Â / ¦ (x) = | x |

o lo que es igual

¦: Â ® Â / ¦ (x) =        { x si x ³ 0

-x si x < 0

Su gráfica tiene forma de "v" centrada en el orígen del sistema de coordenadas.Por su definición todas las imágenes de los elementos del dominio son positivas o cero.

Clasificación:

La función módulo no es inyectiva ni sobreyectiva porque:

1. Las imágenes de elementos opuestos, son iguales;

2. El conjunto Imagen de la función es  [0; +¥ )  y su Codominio es el conjunto de los números reales, por lo tanto existen elementos de él que no tienen preimágen.

Es estrictamente decreciente en el intervalo (-¥ , 0) y estrictamente creciente en          (0, + ¥).

La función módulo  es par porque los elementos opuestos tienen sus imágenes iguales (la gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas).

lunes, 4 de octubre de 2010

Función Lineal

* Las funciones lineales,son aquellas funciones de proporcionalidad directa de la forma:
   F(x) = a x
   Estas funciones se llama tambien de Proporcionalidad directa

EJEMPLO:
Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente
                                      Y = mx + b
que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy.
En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:
                                        
                                                 Y = 0,5x + 2

en esta recta el parámetro m= 1/2, esto es el crecimiento de la recta es 1/2, cuando aumentamos x en una unidad, y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2
La ecuación:
                                       Y = -x + 5
la pendiente de la recta, el parámetro m= -1, indica que cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidades, el corte con el eje y, lo tiene en y= 5, dado que el valor de b= 5.
En el caso de una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

                                                 m = tan0
                                      
                       

                               Geometría analítica de la recta en el plano

La Geometría analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas de geometría, en un plano xy, podemos representar una recta y= mx + b, y determinar las valores de m y de b que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo las de un problema de geometría, veamos algunos casos del empleo del cálculo analítico, aplicado a la geometría:

Rectas que pasan por un punto

FuncionLineal05.svg
Determinar las rectas del plano que pasan por el punto (x0,y0). La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe:  Y = mx + b
Y ha de pasar por el punto (x0,y0), luego tendrá que cumplirse:
            y_0 = m x_0 + b \,
         Despejando b, tenemos esta ecuación:
             b= y_0 - m x_0 \,
         Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:
          y = m x + (y_0 - m x_0) \,
        Ordenando términos:
         y = m (x- x_0) + y_0 \,
Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto (x0,y0), el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz, m puede tomar un valor real cualesquiera.

Explicacion funcion LINEAL:



domingo, 3 de octubre de 2010

Recta que pasa por dos puntos

Determinar la recta del plano que pasan por los puntos (x1,y1) y (x2,y2).
Como en el caso anterior, la ecuación de la recta es:
y = m x + b \,
Y ha de pasar por los puntos (x1,y1) y (x2,y2) luego tendrá que cumplirse:
 y_{1} = m x_{1} + b \,
 y_{2} = m x_{2} + b \,
que forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las incógnitas son m y b, para resolver este sistema, cambiamos de signo a la segunda ecuación y sumando las dos ecuaciones:
y_1 - y_2 = m x_1 - m x_2 \,
agrupando términos:
y_1 - y_2 = m (x_1 - x_2) \,
despejando m:
m= \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \,
este valor, m, es el de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos: (x1,y1) y (x2,y2).
Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:
b = y_1 - m x_1 \,
y sustituyendo m, por su valor ya calculado;
b = y_1 - \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \; x_1 \,
Tenemos las dos incógnitas m y b despejadas, en función de las coordenadas de los dos puntos por los que tienen que pasar, la ecuación general de la recta, con los parámetros ya calculados es:
y = \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \; x + y_1 - \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \; x_1 \,
ordenando términos:
y = \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \; (x-x_1) + y_1 \,
Que es una recta en el plano que pasa por los puntos (x1,y1) y (x2,y2), como ya se ha dicho.
Una relación curiosa de la ecuación anterior es:
\cfrac{y - y_1}{x-x_1} = \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \; \,
y que dice que la pendiente entre un punto cualesquiera (x,y), de la recta que pasa por dos puntos, y el punto (x1,y1), es la misma que la que hay entre los puntos (x1,y1) y (x2,y2) que definen la recta.

 

Rectas perpendiculares

FuncionLineal09.svg
Dada una recta:
y = m_1 x + b_1 \,
Se trata de determinar que rectas:
y = m x + b \,
son perpendiculares a la primera.
Sabiendo que:
 m_1 = \tan( \alpha ) \,
Siendo α el ángulo que forma la recta con la horizontal, cualquier recta perpendicular a ella ha de formar un ángulo (α + 90) con la horizontal, por trigonometría sabemos que:
 \tan ( \alpha + 90) = \frac{-1}{\tan(\alpha)}
y si la pendiente de la primera recta es:
 m_1 = \tan ( \alpha ) \,
la de la segunda debe de ser:
 m = \tan ( \alpha+ 90 ) = \frac{-1}{ m_1 } \,
Esto es, dada una recta cualquiera:
y = m_1 x + b_1 \,
cualquier recta de la forma:
y = \frac{-1}{ m_1 } x + b \,
Es perpendicular a la primera, para cualquier valor del parámetro b.
Es fácil percatarse que las ordenadas en el origen de las rectas, no intervienen para determinar las rectas perpendiculares, esto es porque la perpendicularidad es un problema de dirección, y los puntos por los que pasa la recta no influyen, si la primera recta la sustituimos por una paralela a ella, el problema no se altera en absoluto, y el resultado es un conjunto de rectas paralelas, definidas por la pendiente y no por el punto concreto por el que pasa.


fuentes consultadas: YOU TUBE, WICKIPEDIA