Matemática: Recta que pasa por dos puntos

Determinar la recta del plano que pasan por los puntos

(x 1, y 1)

(x 2, y 2)

.
Como en el caso anterior, la ecuación de la recta es:

$y = m x + b \,$

Y ha de pasar por los puntos

(x 1, y 1)

(x 2, y 2)

luego tendrá que cumplirse:

$y_{1} = m x_{1} + b \,$

$y_{2} = m x_{2} + b \,$

que forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las incógnitas son m y b, para resolver este sistema, cambiamos de signo a la segunda ecuación y sumando las dos ecuaciones:

$y_1 - y_2 = m x_1 - m x_2 \,$

agrupando términos:

$y_1 - y_2 = m (x_1 - x_2) \,$

despejando m:

$m= \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \,$

este valor, m, es el de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos:

(x 1, y 1)

(x 2, y 2)

.
Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:

$b = y_1 - m x_1 \,$

y sustituyendo m, por su valor ya calculado;

$b = y_1 - \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \; x_1 \,$

Tenemos las dos incógnitas m y b despejadas, en función de las coordenadas de los dos puntos por los que tienen que pasar, la ecuación general de la recta, con los parámetros ya calculados es:

$y = \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \; x + y_1 - \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \; x_1 \,$

ordenando términos:

$y = \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \; (x-x_1) + y_1 \,$

Que es una recta en el plano que pasa por los puntos

(x 1, y 1)

(x 2, y 2)

, como ya se ha dicho.
Una relación curiosa de la ecuación anterior es:

$\cfrac{y - y_1}{x-x_1} = \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \; \,$

y que dice que la pendiente entre un punto cualesquiera

(x, y)

, de la recta que pasa por dos puntos, y el punto

(x 1, y 1)

, es la misma que la que hay entre los puntos

(x 1, y 1)

(x 2, y 2)

que definen la recta.

Rectas perpendiculares

Dada una recta:

$y = m_1 x + b_1 \,$

Se trata de determinar que rectas:

$y = m x + b \,$

son perpendiculares a la primera.
Sabiendo que:

$m_1 = \tan( \alpha ) \,$

Siendo

α

el ángulo que forma la recta con la horizontal, cualquier recta perpendicular a ella ha de formar un ángulo

(α + 90)

con la horizontal, por trigonometría sabemos que:

$\tan ( \alpha + 90) = \frac{-1}{\tan(\alpha)}$

y si la pendiente de la primera recta es:

$m_1 = \tan ( \alpha ) \,$

la de la segunda debe de ser:

$m = \tan ( \alpha+ 90 ) = \frac{-1}{ m_1 } \,$

Esto es, dada una recta cualquiera:

$y = m_1 x + b_1 \,$

cualquier recta de la forma:

$y = \frac{-1}{ m_1 } x + b \,$

Es perpendicular a la primera, para cualquier valor del parámetro b.
Es fácil percatarse que las ordenadas en el origen de las rectas, no intervienen para determinar las rectas perpendiculares, esto es porque la perpendicularidad es un problema de dirección, y los puntos por los que pasa la recta no influyen, si la primera recta la sustituimos por una paralela a ella, el problema no se altera en absoluto, y el resultado es un conjunto de rectas paralelas, definidas por la pendiente y no por el punto concreto por el que pasa.

fuentes consultadas: YOU TUBE, WICKIPEDIA

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domingo, 3 de octubre de 2010

Recta que pasa por dos puntos

Rectas perpendiculares

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